Generando ejemplos de variables aleatorias independientes dos a dos, pero no independientes

Recientemente he leído un esquema general [véase Mukhopadhyay (2022)] para construir ejemplos de tres variables aleatorias que sean independientes dos a dos pero que no sean independientes. Para la docencia puede venir bien para diseñar algunos ejercicios fáciles e instructivos sobre independencia de variables aleatorias.

Comenzamos con tres funciones de densidad $g_1, g_2, g_3$ definidas en el intervalo $[0,1]$ y consideramos el vector aleatorio $(X_1,X_2,X_3)$ con valores en $[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$ cuya función de densidad conjunta viene dada por

$f(x_1,x_2,x_3) = \frac{1}{4}[g_1(x_1)g_2(x_2)g_3(x_3) + g_1(x_1) + g_2(x_2) + g_3(x_3)].$

Es inmediato comprobar que $f(x_1,x_2,x_3)$ es una función de densidad: es no negativa y además

$\int_0^1\int_0^1\int_0^1 f(x_1,x_2,x_3) dx_1dx_2dx_3 = \frac{1}{4}[1 + 1 +1 +1] = 1.$

La densidad marginal de $X_1$ es:

$f_{X_1}(x_1) = \int_0^1\int_0^1 f(x_1,x_2,x_3) dx_2dx_3 = \frac{1}{4}[g_1(x_1) + g_1(x_1) + 1 +1] = \frac{1}{2}[g_1(x_1) + 1].$

Análogamente, $f_{X_2}(x_2) = \frac{1}{2}[g_2(x_2) + 1]$ y $f_{X_3}(x_3) = \frac{1}{2}[g_3(x_3) + 1]$ .

En cuanto a la densidad bidimensional de $(X_1,X_2)$ , viene dada por:

$f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = \int_0^1 f(x_1,x_2,x_3) dx_3 = \frac{1}{4}[g_1(x_1)g_2(x_2) + g_1(x_1) + g_2(x_2) + 1] = \frac{1}{2}[g_1(x_1) + 1] \frac{1}{2}[g_2(x_2) + 1] = f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2),$

lo que implica que las variables $X_1$ y $X_2$ son independientes. Análogamente, para el resto de pares. Por tanto, las variables $X_1,X_2,X_3$ son independientes dos a dos.

Sin embargo, es muy fácil seleccionar las densidades $g_1, g_2, g_3$ de forma que

$f(x_1,x_3,x_3) \neq f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) f_{X_3}(x_3),$

con lo que $X_1,X_2,X_3$ no serían independientes.

Por ejemplo, podemos tomar $g_1(x_1)=1, g_2(x_2) = 2x_2, g_3(x_3)=2x_3$ . Por la construcción que hemos explicado, las marginales del vector tridimensional cuya función de densidad es $f(x_1,x_2,x_3) = 1/4 + x_2/2 + x_3/2 + x_2x_3$ en $[0,1]^3$ son independientes dos a dos pero no son independientes. Eligiendo funciones $g_1,g_2,g_3$ diferentes podemos generar muchos otros ejemplos.

Referencia

Mukhopadhyay, N. (2022). Pairwise Independence May Not Imply Independence: New Illustrations and a Generalization, The American Statistician, 76, 184-187.

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