Un contraejemplo sobre independencia de variables aleatorias

La siguiente afirmación, ¿es verdadera o es falsa?

Sean X, Y y Z tres variables aleatorias tales que X es independiente de Y y X es independiente de Z. Entonces, X es independiente de Y+Z.

En esta entrada vamos a ver un ejemplo muy sencillo que demuestra que la afirmación anterior es falsa.

Sea (X,Y,Z) un vector aleatorio que toma los valores (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) y (1,1,1) con probabilidad 1/4 cada uno. Las siguientes propiedades son muy fáciles de comprobar:

  • Las tres distribuciones marginales son Bernoulli con p=1/2.
  • La distribución de los tres vectores (X,Y), (X,Z) e (Y,Z) es la misma: la que asigna probabilidad 1/4 a cada uno de los puntos (1,0)(0,0)(0,1) y (1,1).
  • Como consecuencia de los dos puntos anteriores, las variables X, Y y Z son independientes dos a dos.

Y sin embargo, \mbox{P}(X=0,Y+Z=0) = \mbox{P}(X=0,Y=0,Z=0) =0, mientras que  \mbox{P}(X=0)\mbox{P}(Y+Z=0) = (1/2)(1/4)=1/8. Por lo tanto, X no es independiente de Y+Z.

Una condición suficiente para que X sea independiente de Y+Z es la independencia entre X y el vector (Y,Z).

El ejemplo lo he encontrado en este artículo, dedicado a discutir errores en algunas demostraciones publicadas de la independencia de la media y la varianza muestrales bajo normalidad.

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