¿Cuánto es de esperar que dure una buena racha? (II)

Aquí se da la solución de un problema de probabilidad planteado en una entrada anterior.

Lo primero que hay que observar es que, si F es continua, la distribución de la longitud de las buenas rachas no depende de F. La razón es similar a la que sirve para probar que la distribución del estadístico de Kolmogorov-Smirnov es la misma para todas las distribuciones continuas. Si llamamos N a la longitud de una racha y X_1,\ldots,X_n son variables aleatorias i. i .d. con distribución continua F, entonces

\displaystyle N > n \Leftrightarrow X_1 \leq \cdots \leq X_n\Leftrightarrow F(X_1) \leq \cdots \leq F(X_n)

y, dado que F es continua, es bien conocido que las variables  F(X_1),\ldots, F(X_n) son  i. i. d. con distribución uniforme en el intervalo (0,1). Podemos considerar por tanto la distribución uniforme sin perder generalidad.

Sean U_1,\ldots ,U_n v. a. i. i. d. con distribución uniforme en el intervalo (0,1).  Como todas las permutaciones de los valores son claramente equiprobables, para cualquier n\geq 2,

\displaystyle \mathbb{P}(N > n) = \mathbb{P}(U_1 <\cdots < U_n) = \frac{1}{n!}.

Por lo tanto,

\displaystyle \mathbb{P}(N = n) = \mathbb{P}(N > n-1) - \mathbb{P}(N > n) = \frac{n-1}{n!}.

¿Es una buena racha de longitud 5 inusualmente larga? Teniendo en cuenta la expresión anterior tenemos \mathbb{P}(N \geq 5) \approx 0.042, es decir, solo algo más del 4% de las rachas tienen una longitud superior a 4.

Finalmente, la longitud esperada de las rachas es

\displaystyle \mathbb{E}(N) = \sum_{n=2}^\infty \frac{n(n-1)}{n!} = 1 +\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +\cdots = e.

Me resulta llamativo que aparezca el número e como resultado final para cualquier distribución continua. Algunos problemas relacionados con este que podría tener interés considerar:

  • Calcular otros momentos de la distribución de N (por ejemplo, la varianza).
  • Considerar el caso (más difícil) en el que F es discreta.

Una referencia para ampliar información sobre este problema es Siehler (2010).

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