¿Cuánto es de esperar que dure una buena racha? (I)

Este es un bonito problema de probabilidad, sobre todo por tener una solución muy sencilla y afamada.

Supongamos que observamos una sucesión de números aleatorios (extraídos de una distribución continua): 0.23, 0.56, 0.67, 0.82, 0.13. Vemos que los números van aumentando hasta que decrecen por primera vez en la quinta posición. Hemos observado una buena racha de longitud 5. Podemos preguntarnos si este valor es inusualmente elevado, si es inusualmente pequeño, o si está cerca del valor esperado de la longitud de las buenas rachas. También podemos preguntarnos cómo depende esta longitud de la distribución de la que proceden los datos.

Un poco más formalmente: sea F una distribución continua. Supongamos que observamos variables independientes con distribución F siempre que cada valor observado sea mayor que el anterior y paramos en cuanto esto no suceda. Es decir, observamos valores con distribución F mientras dure una buena racha. El problema es calcular la longitud esperada de estas buenas rachas.

Daré la solución en otra entrada del blog. De momento, podéis usar el siguiente código de R para simular el experimento a partir de observaciones de cualquier distribución:


rachas = function(generador, B=100, ...){
 # generador: el nombre de una funcion que genere numeros aleatorios (por ejemplo, rnorm)
 # B: el numero de rachas generadas
 # Resultado: un vector con las longitudes de las B rachas generadas
 I = rep(2,B)
 for (b in 1:B){
 x = generador(1, ...)
 y = generador(1, ...)
 while (y > x){
 I[b] = I[b] + 1
 x = y
 y = generador(1, ...)
 }
 }
 return(I)
}
#-----------------------------------------------------------------

# Ejemplo:

res.rnorm = rachas(rnorm, 10000, sd=20) # datos N(0,sigma = 20)
mean(res.rnorm) # longitud media de 10000 rachas

Podéis experimentar un poco con el programa generando datos de distintas distribuciones. ¿Cómo varía la longitud media de las rachas al cambiar la distribución?

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